Një copë litari Apollonian është një lloj imazhi fraktal që formohet nga një koleksion i qarqeve gjithnjë në tkurrje të përfshira brenda një rrethi të vetëm të madh. Çdo rreth në copë litarin Apollonian është tangjent me qarqet ngjitur - me fjalë të tjera, qarqet në copë litari Apollonian kontaktojnë në pika pafundësisht të vogla. I quajtur për matematikanin grek Apollonius nga Perga, ky lloj fraktali mund të vizatohet (me dorë ose me kompjuter) në një shkallë të arsyeshme të kompleksitetit, duke formuar një imazh të bukur dhe goditës. Shihni Hapi 1 më poshtë për të filluar.
Hapa
Pjesa 1 nga 2: Kuptoni konceptet kryesore
Për të qenë plotësisht i qartë, nëse thjesht jeni të interesuar të vizatoni një copë litari Apollonian, nuk është thelbësore të hulumtoni parimet e matematikës pas fraktalit. Sidoqoftë, nëse dëshironi një kuptim më të thellë të guarnicioneve Apolloniane, është e rëndësishme të kuptoni përkufizimet e disa koncepteve që ne do të përdorim kur i diskutojmë ato.
Hapi 1. Përcaktoni termat kyç
Termat e mëposhtëm përdoren në udhëzimet më poshtë:
- Guarnicioni Apollonian: Një nga disa emra për një lloj fraktali të përbërë nga një seri rrathësh të futur brenda një rrethi të madh dhe tangjent me të gjithë të tjerët aty pranë. Këto quhen gjithashtu "Qarqe të ndotura" ose "Qarqe puthjeje".
- Rrezja e një rrethi: Distanca nga pika qendrore e një rrethi në skajin e tij. Zakonisht caktohet ndryshorja r.
- Lakimi i një rrethi: Anasjellta pozitive ose negative e rrezes, ose ± 1/r. Lakimi është pozitiv kur merret me lakimin e jashtëm të rrethit dhe negativ për lakimin e brendshëm.
- Tangent: Një term i aplikuar për linjat, rrafshet dhe format që ndërpriten në një pikë pafundësisht të vogël. Në Gaskets Apollonian, kjo i referohet faktit se çdo rreth prek çdo rreth aty pranë në vetëm një pikë. Vini re se nuk ka kryqëzim - format tangjente nuk mbivendosen.
Hapi 2. Kuptoni teoremën e Dekartit
Teorema e Dekartit është një formulë që është e dobishme për llogaritjen e madhësive të qarqeve në një copë litari Apoloniane. Nëse përcaktojmë lakimet (1/r) të çdo tre qarqeve si a, b dhe c, përkatësisht, Teorema deklaron se lakimi i rrethit (ose qarqeve) tangjent me të tre, të cilat ne do t'i përcaktojmë si d, është: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Për qëllimet tona, ne në përgjithësi do të përdorim vetëm përgjigjen që marrim duke vënë një shenjë plus para rrënjës katrore (me fjalë të tjera,… + 2 (sqrt (…)). Tani për tani, mjafton të dimë se zbritja forma e ekuacionit ka përdorimet e tij në detyra të tjera të lidhura
Pjesa 2 nga 2: Ndërtimi i copëzës Apolloniane
Gaskets Apollonian marrin formën e aranzhimeve të bukura fraktale të qarqeve që zvogëlohen. Matematikisht, Rondelet Apolloniane kanë një kompleksitet të pafund, por, pavarësisht nëse jeni duke përdorur një program vizatimi kompjuterik ose mjete tradicionale të vizatimit, përfundimisht do të arrini një pikë në të cilën është e pamundur të vizatoni qarqe më të vogla. Vini re se sa më saktë të vizatoni rrathët tuaj, aq më shumë do të jeni në gjendje të përshtateni në copëzën tuaj.
Hapi 1. Mblidhni mjetet tuaja vizatimore dixhitale ose analoge
Në hapat e mëposhtëm, ne do të bëjmë copë litarin tonë të thjeshtë Apollonian. It'sshtë e mundur të vizatoni Gaskets Apollonian me dorë ose në kompjuter. Në secilin rast, do të dëshironi të jeni në gjendje të vizatoni qarqe të përsosura të rrumbullakëta. Kjo është mjaft e rëndësishme. Meqenëse çdo rreth në një copë litari Apollonian është krejtësisht tangjent me qarqet pranë tij, qarqet që janë disi të gabuara mund të "hedhin poshtë" produktin tuaj përfundimtar.
- Nëse vizatoni copë litari në një kompjuter, do t'ju duhet një program që ju lejon të vizatoni me lehtësi qarqe me një rreze fikse nga një pikë qendrore. Gfig, një shtrirje e vizatimit vektor për programin falas të redaktimit të imazhit GIMP, mund të përdoret, siç mund të përdoret një larmi e madhe e programeve të tjera të vizatimit (shihni seksionin e materialeve për lidhjet përkatëse). Ju gjithashtu do të keni nevojë për një aplikim llogaritës dhe një dokument përpunues teksti ose një fletore fizike për të mbajtur shënime mbi lakimet dhe rrezet.
- Për vizatimin e copëzës me dorë, do t'ju duhet një kalkulator (i sugjeruar shkencor ose grafik), një laps, busull, vizore (mundësisht një peshore me shënime milimetrike, letër grafiku dhe një fletore për marrjen e shënimeve.
Hapi 2. Filloni me një rreth të madh
Detyra juaj e parë është e lehtë - thjesht vizatoni një rreth të madh, të përkryer të rrumbullakët. Sa më i madh të jetë rrethi, aq më komplekse mund të jetë copë litari juaj, kështu që përpiquni të bëni një rreth aq të madh sa letra juaj ose aq i madh sa mund ta shihni lehtë në një dritare në programin tuaj të vizatimit.
Hapi 3. Krijoni një rreth më të vogël brenda origjinalit, tangjent në njërën anë
Tjetra, vizatoni një rreth tjetër brenda të parit që është më i vogël se origjinali, por ende mjaft i madh. Madhësia e saktë e rrethit të dytë varet nga ju - nuk ka madhësi të saktë. Sidoqoftë, për qëllimet tona, le të vizatojmë rrethin tonë të dytë në mënyrë që të arrijë saktësisht në gjysmën e rrugës përgjatë rrethit tonë të madh të jashtëm. Me fjalë të tjera, le të vizatojmë rrethin tonë të dytë në mënyrë që pika e tij qendrore të jetë mesi i rrezes së rrethit të madh.
Mos harroni se në Rondelet Apolloniane, të gjitha qarqet që preken janë tangjente me njëri -tjetrin. Nëse jeni duke përdorur një busull për të tërhequr qarqet tuaja me dorë, rikrijoni këtë efekt duke e vendosur pikën e mprehtë të busullës në mes të rrezes së rrethit të madh të jashtëm, duke rregulluar lapsin tuaj në mënyrë që të prekë skajin e rrethit të madh, pastaj vizatoni rrethin tuaj të brendshëm më të vogël
Hapi 4. Vizatoni një rreth identik "përballë" rrethit më të vogël brenda
Tjetra, le të vizatojmë një rreth tjetër përballë rrethit tonë të parë. Ky rreth duhet të jetë tangjent si me rrethin e madh të jashtëm ashtu edhe me rrethin më të vogël të brendshëm, që do të thotë se dy rrathët tuaj të brendshëm do të preken në pikën e mesit të saktë të rrethit të madh të jashtëm.
Hapi 5. Zbatoni Teoremën e Dekartit për të gjetur madhësinë e rrathëve tuaj të ardhshëm
Le të ndalojmë së vizatuari për një moment. Tani që kemi tre rrathë në copëzën tonë, mund të përdorim Teoremën e Dekartit për të gjetur rrezen e rrethit tjetër që do të vizatojmë. Mos harroni se Teorema e Dekartit është d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), ku a, b dhe c janë lakimet e tre rrathëve tuaj tangjentë dhe d është lakimi i rrethit tangjent me të tre. Pra, për të gjetur rrezen e rrethit tonë të ardhshëm, le të gjejmë lakimin e secilit prej qarqeve që kemi deri më tani në mënyrë që të gjejmë lakimin e rrethit tjetër, pastaj ta konvertojmë këtë në rrezen e tij.
-
Le të përcaktojmë rrezen e rrethit tonë të jashtëm si
Hapi 1. Me Për shkak se qarqet e tjera janë brenda këtij, kemi të bëjmë me lakimin e tij të brendshëm (dhe jo me lakimin e tij të jashtëm), dhe, rrjedhimisht, ne e dimë që lakimi i tij është negativ. -1/r = -1/1 = -1. Lakimi i rrethit të madh është - 1.
-
Rrezet e qarqeve më të vogla janë gjysma më të mëdha se ato të rrethit të madh, ose, me fjalë të tjera, 1/2. Meqenëse këto qarqe prekin njëri -tjetrin dhe rrethin e madh me skajin e tyre të jashtëm, ne kemi të bëjmë me lakimin e tyre të jashtëm, kështu që lakimet e tyre janë pozitive. 1/(1/2) = 2. Lakimet e qarqeve më të vegjël janë të dyja
Hapi 2..
-
Tani, ne e dimë se a = -1, b = 2 dhe c = 2 për ekuacionin e Teoremës së Dekartit tonë. Le të zgjidhim për d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Lakimi i rrethit tonë të ardhshëm është
Hapi 3. Me Meqenëse 3 = 1/r, rrezja e rrethit tonë të ardhshëm është 1/3.
Hapi 6. Krijoni grupin tuaj të ardhshëm të qarqeve
Përdorni vlerën e rrezes që sapo keni gjetur për të vizatuar dy rrathët tuaj të ardhshëm. Mos harroni se këto do të jenë tangjente me qarqet, lakimet e të cilave i keni përdorur për a, b dhe c në Teoremën e Dekartit. Me fjalë të tjera, ato do të jenë tangjente si në qarqet origjinale ashtu edhe në ato të dyta. Që këto rrathë të jenë tangjent me të tre rrathët, do t'ju duhet t'i vizatoni në hapësirat e hapura në krye dhe në fund të zonës brenda rrethit tuaj të madh origjinal.
Mos harroni se rrezet e këtyre qarqeve do të jenë të barabarta me 1/3. Matni 1/3 mbrapa nga buza e rrethit të jashtëm, pastaj vizatoni rrethin tuaj të ri. Duhet të jetë tangjent me të tre qarqet përreth
Hapi 7. Vazhdoni në këtë mënyrë për të vazhduar shtimin e qarqeve
Për shkak se janë fraktale, Rondelet Apolloniane janë pafundësisht komplekse. Kjo do të thotë që ju mund të shtoni qarqe më të vogla në përmbajtjen e zemrës tuaj. Ju jeni të kufizuar vetëm në saktësinë e mjeteve tuaja (ose, nëse përdorni një kompjuter, aftësinë e programit tuaj të vizatimit për të "zmadhuar"). Çdo rreth, sado i vogël, duhet të jetë tangjent me tre rrathë të tjerë. Për të vizatuar çdo rreth të mëvonshëm në copëzën tuaj, lidhni lakimet e tre rrathëve në të cilët do të jetë tangjent në Teoremën e Dekartit. Pastaj, përdorni përgjigjen tuaj (e cila do të jetë rrezja e rrethit tuaj të ri) për të vizatuar me saktësi rrethin tuaj të ri.
- Vini re se copë litari që kemi zgjedhur të vizatojmë është simetrik, kështu që rrezja e një rrethi është e njëjtë me rrethin përkatës "përballë tij". Sidoqoftë, dijeni që jo çdo copë litari Apolloniane është simetrike.
-
Le të merremi me një shembull tjetër. Le të themi se, pasi vizatojmë grupin tonë të fundit të qarqeve, ne tani duam të vizatojmë qarqet që janë tangjentë në grupin tonë të tretë, grupin tonë të dytë dhe rrethin tonë të madh të jashtëm. Lakimet e këtyre qarqeve janë përkatësisht 3, 2 dhe -1. Le t'i lidhim këta numra në Teoremën e Dekartit, duke vendosur a = -1, b = 2 dhe c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Kemi dy përgjigje! Megjithatë, për shkak se ne e dimë se rrethi ynë i ri do të jetë më i vogël se çdo qarqe në të cilën është tangjent, vetëm një lakim i
Hapi 6. (dhe për këtë arsye një rreze e 1/6) ka kuptim.
- Përgjigja jonë tjetër, 2, në të vërtetë i referohet rrethit hipotetik në anën tjetër të pikës tangjente të qarqeve tona të dyta dhe të treta. Ky rreth është tangjent me të dy këto qarqe dhe me rrethin e madh të jashtëm, por do të ndërpresë rrathët që kemi vizatuar tashmë, kështu që ne mund ta shpërfillim atë.
Hapi 8. Për një sfidë, provoni të bëni një copë litari apoloniane jo simetrike duke ndryshuar madhësinë e rrethit tuaj të dytë
Të gjitha Gaskets Apollonian fillojnë njësoj - me një rreth të madh të jashtëm që vepron si buzë e fraktalit. Sidoqoftë, nuk ka asnjë arsye që rrethi juaj i dytë domosdoshmërisht të ketë 1/2 rreze të të parit - ne thjesht zgjodhëm ta bëjmë këtë më lart sepse është e thjeshtë dhe e lehtë për tu kuptuar. Për argëtim, provoni të filloni një copë litari të re me një rreth të dytë me një madhësi të ndryshme - kjo do të çojë në rrugë të reja emocionuese të eksplorimit.
